Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 1 dari 17
DISTRIBUSI PROBABILITAS
Modul 8 Pengantar Statistika Sosial
Tujuan Instruksional Umum (TIU):
Setelah membaca bab ini, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Menjelaskan definisi, tujuan, dan fungsi dari distribusi probabilitas
Tujuan Instruksional Khusus (TIK):
Setelah membaca bab ini, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Menjelaskan definisi dan tujuan dari distribusi probabilitas binomial, poisson, dan normal
2. Menggunakan distribusi binomial dalam menyelesaikan permasalahan/kasus
A. DISTRIBUSI PROBABILITAS
Distribusi probabilitas merupakan penyusunan semua probabilitas yang keluar jika percobaan telah dilakukan. Distribusi probabilitas juga dikenal dengan istilah distribusi peluang atau sebaran peluang. Distribusi probabilitas dibagi menjadi dua yaitu distribusi probabilitas diskret dan distribusi probabilitas kontinu. Distribusi probabilitas diskret digunakan untuk variabel acak diskret sedangkan distribusi probabilitas kontinu digunakan untuk variabel acak kontinu.
Distribusi probabilitas dilambangkan dengan huruf P (probability) dan variabel acak dilambangkan dengan huruf x. Jadi, distribusi probabilitas untuk suatu variabel acak dilambangkan dengan P(x)
Sebagai contoh, sebuah dadu yang dilemparkan dua kali secara bebas stokastik maka ruang sampelnya adalah sebagai berikut:
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Ruang sampel (1,1) berarti bahwa dalam pelemparan dua buah dadu secara bersamaan, dadu pertama muncul angka 1 dan dadu kedua muncul angka 1, dan seterusnya.
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 2 dari 17
Dalam contoh di atas, untuk sampel (1,3) diperoleh x=4 (didapat dari 1+3), untuk sampel (6,5) diperoleh x=11 (didapat dari 6+5), dan seterusnya. Dengan demikian, ditribusi probabilitas untuk variabel acak x tersebut yaitu sebagai berikut:
x: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(x) 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136
Dari tabel di atas, apabila ingin diketahui peluang jumlah kedua mata dadu adalah 6 atau 8, sama dengan:
P(x ฮ {6,8}) = P(x=6) + P(x=8) = 536 + 536 = 1036 =0,28
Hal ini berarti bahwa kurang lebih 28%
dari seluruh lemparan menghasilkan
jumlah mata dadu 6 atau 8
B. VARIABEL DISKRET DAN KONTINU
Sebuah variabel dikatakan sebagai variabel diskret jika memiliki bilangan bulat dan tidak dapat dibagi/dipecah. Manusia merupakan contoh variabel diskret karena tidak pernah ditemukan manusia berjumlah 1,7 orang atau 2,9 orang. Contoh lainnya yaitu jumlah bangunan yang tidak pernah disebutkan jumlahnya dalam bentuk pecahan, dan sebagainya.
Variabel kontinu yaitu variabel acak yang bilangannya dapat dibagi atau dipecah ke dalam beberapa bagian. Bilangan pada variabel kontinu terletak pada dua titik sehingga dapat memungkinkan penggunaan pecahan. Sebagai contoh, ketika disebutkan umur Andi adalah 20 tahun, pasti tidak tepat 20 karena bisa jadi 19 tahun 9 bulan atau 20 tahun 3 bulan. Karena terletak di antara dua titik, maka umur dapat didefinisikan dalam bentuk pecahan, seperti 20,5 tahun, 20,8 tahun, dan sebagainya. Begitu juga dengan waktu yang merupakan variabel kontinu karena dapat dibagi menjadi jam, menit, detik, dan milidetik, sehingga dimungkinkan untuk menyebutkan 5,5 jam yang berarti 5 jam 30 menit.
Karena karakter variabel diskret dan kontinu berbeda maka distribusi probabilitasnya juga menggunakan pendekatan yang berbeda.
Dalam pelemparan dua dadu secara bersamaan, mengapa peluang muncul kedua mata dadu 6 adalah 536 ? Hal ini karena dalam sekali pelemparan memungkinkan muncul dadu (1,5), (5,1), (3,3), (2,4), dan (4,2), sehingga total peluangnya adalah 536
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 3 dari 17
C. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET
Distribusi probabiltias diskret terdiri dari:
1. Distribusi Probabilitas Binomial
2. Distribusi Probabilitas Poisson
C.1. Distribusi Probabilitas Binomial
Distribusi probabilitas Binomial dikenal juga sebagai distribusi Bernoulli sebagai bentuk penghormatan atas jasa James Bernoulli yang telah menemukan rumusnya pada akhir abad ke-17. Distribusi probabilitas Binomial memiliki ciri-ciri:
1. Percobaan terdiri dari N ulangan dan setiap ulangan hanya menghasilkan satu dari dua kategori, yaitu sukses atau gagal. Kategori sukses dilambangkan dengan p dan kategori gagal dilambangkan dengan q, dan p+q=1 atau q=1-p
2. Setiap ulangan merupakan kejadian yang bebas secara statistika, sehingga peluang sukses setiap ulangannya konstan
3. Jumlah n kecil (n < 30)
4. Peluang suatu kejadian/peristiwa besar (P ≈ 0,5)
Rumus distribusi Binomial:
P(x) = ๐!๐ฅ! ๐−๐ฅ ! px. q n-x
Keterangan:
n= banyaknya ulangan
p= peluang sukses/peluang yang diharapkan (1-q)
q= peluang gagal (1-p)
x= variabel acak/kejadian yang diharapkan
Contoh Soal 1
Dalam sebuah survei di sebuah perguruan tinggi bernama UD (Universitas Depok), diketahui 60% mahasiswa pernah mencontek dalam Ujian Akhir Semester. Jika dipilih 15 mahasiswa secara acak, berapa peluang:
a. 5 mahasiswa pernah mencontek
b. paling sedikit 3 mahasiswa pernah mencontek
c. tidak lebih dari 1 mahasiswa pernah mencontek
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 4 dari 17
Penyelesaian
Karena mahasiswa UD digolongkan menjadi pernah mencontek dan tidak pernah mencontek maka distribusi peluang dari mahasiswa UD dapat dikategorikan sebagai distribusi probabilitas Binomial. Dari informasi di atas maka dapat diketahui bahwa n=15, p=0,6 (peluang mahasiswa pernah mencontek) dan q=0,4 (peluang mahasiswa tidak pernah mencontek).
a. peluang 5 mahasiswa pernah mencontek yaitu:
P(x) = ๐!๐ฅ! ๐−๐ฅ ! px. q n-x
P(x=5) = 15!5! 15−5 ! (0,6)5. (0,4)15-5
P(x=5) = 15!5!.10! (0,6)5. (0,4)10
P(x=5) = 0,024
b. Peluang paling sedikit 3 mahasiswa pernah mencontek maka x ≥ 3
P(x≥3) = 1 – P(x<3) = 1-[P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)
P(x=0) = 15!0! 15−0 ! (0,6)0. (0,4) 15-0 = 0,0000011
P(x=1) = 15!1! 15−1 ! (0,6)1. (0,4) 15-1 = 0,000040
P(x=2) = 15!2! 15−2 ! (0,6)2. (0,4) 15-2 = 0,00025
Maka P(x≥3) = 1 – (0,0000011+0,0000403+0,0002537) = 0,99
c. Peluang tidak lebih dari 1 mahasiswa pernah mencontek, maka x ≤ 1
P(x≤1) = P(x=0) + P(x=1)
P(x≤1) = 0,0000011 + 0,000040 = 0,0000411
Contoh Soal 2
Dari sebuah survei terhadap pemilik kendaraan di Kota Maju Lancar diketahui bahwa 75% pemilik tidak setuju terhadap kenaikan tarif BBM. Jika diambil 10 sampel secara acak, tentukan:
a. Peluang 5 responden tidak setuju terhadap kenaikan tarif BBM
b. Paling banyak 8 responden setuju terhadap kenaikan tarif BBM
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 5 dari 17
Penyelesaian
Dari informasi di atas diketahui bahwa p=0,75 dan q=0,25 (untuk yang tidak setuju) dan p=0,25 dan q=0,75 (untuk yang setuju), dan n=10. Ingat bahwa “p” adalah peluang yang diharapkan.
a. Peluang 5 responden tidak setuju terhadap kenaikan tarif BBM yaitu
P(5) = 10!5! 10−5 ! 0,755. 0,25 10-5
P(5) = 0,058
b. Peluang paling banyak 8 responden setuju terhadap kenaikan tarif BBM, maka x≤8
P(x≤8) = 1-[P(x=9)+P(x=10)]
P(x=9) = 10!9! 10−9 ! (0,25)9. (0,75) 15-9 = 0,000007
P(x=10) = 10!10! 10−10 ! (0,25)10. (0,75) 15-10 = 0
Jadi, peluang paling banyak 8 responden setuju terhadap kenaikan tarif BBM yaitu 1- (0,000007+0) = 0,99
Kasus 3
Berdasarkan survei Pusat Kajian Pelayanan Publik terhadap kepuasan masyarakat yang menggunakan layanan SIM keliling di DKI Jakarta, diketahui bahwa 20% menyatakan sangat puas dengan pelayanan, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja, dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang yang sedang menggunakan layanan SIM keliling di DKI Jakarta, berapakah probabilitas:
a. Paling banyak 2 orang menyatakan sangat puas
b. Paling sedikit 1 orang menyatakan kurang puas
c. Tepat diantaranya 3 orang menyatakan biasa saja
d. Terdapat 2 sampai 4 orang menyatakan puas
Penyelesaian:
a. Peluang paling banyak 2 orang sangat puas (p=0,2), maka x≤2
P(x≤2) = [P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]
P(x=0) = 5!0! 5−0 ! (0,2)0. (0,8) 5-0 = 0,3277
P(x=1) = 5!1! 5−1 ! (0,2)1. (0,8) 5-1 = 0,4096
P(x=2) = 5!2! 5−2 ! (0,2)2. (0,8) 5-2 = 0,2048
Jadi. peluang paling banyak 2 orang sangat puas yaitu 0,3277+0,4096+0,2048= 0,9421
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 6 dari 17
b. Peluang paling sedikit 1 orang menyatakan kurang puas (p=0,15) , maka x≥1
P(x≥1) = 1-P(x=0)
P(x=0) = 5!0! 5−0 ! (0,15)0. (0,85) 5-0 = 0,4437
Jadi, peluang paling sedikit 1 orang menyatakan kurang puas yaitu 1-0,4437=0,5563
c. Peluang tepat 3 orang menyatakan biasa saja (p=0,25), maka x=3
P(x=3) = 5!3! 5−3 ! (0,25)3. (0,75) 5-3 = 0,0879
Jadi, peluang tepat 3 orang menyatakan biasa saja yaitu 0,0879
d. Peluang 2-4 orang menyatakan puas (p=0,4), maka 2≤x≤4
P(x=2) = 5!2! 5−2 ! (0,4)2. (0,6) 5-2 = 0,3456
P(x=3) = 5!3! 5−3 ! (0,4)3. (0,6) 5-3 = 0,2304
P(x=4) = 5!4! 5−4 ! (0,4)4. (0,6) 5-4 = 0,0768
Jadi, peluang 2-4 orang menyatakan puas yaitu 0,3456+0,2304+0,0768 = 0,6528
C.1.1. Menggunakan Tabel untuk Menghitung Probabilitas Binomial
Selain menghitung secara manual, nilai probabilitas binomial dapat ditentukan dengan menggunakan alat bantu berupa tabel. Sebagai contoh, jika diketahui n=4, p=0,75, q=0,25, dan x=3, maka probabilitasnya adalah?
Sebelumnya pastikan bahwa Saudara sudah memiliki tabel distribusi binomial yang dapat diperoleh dengan mudah di internet.
Selanjutnya, perhatikan gambar berikut.
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 7 dari 17
Lihat pada kolom sebelah kiri di mana tertera nilai n. Karena diketahui n=4 maka sesuaikan dengan kolom n, yaitu n=4.
Berikutnya, perhatikan kolom p dan sesuaikan dengan nilai p yang akan dicari, yaitu 0,75. Karena pada baris atas nilai p hanya sampai 0,50, maka lihat baris paling bawah di mana terdapat nilai p=0,75, seperti gambar berikut.
Runutlah ke atas dan sesuaikan dengan nilai x. Karena yang digunakan adalah p yang bawah, maka x yang digunakan adalah x sebelah kanan, yang disusun terbalik dari 8 ke 0. Begitu sebaliknya jika yang digunakan adalah p yang atas maka yang digunakan adalah x sebelah kiri, yang disusun dari 0 hingga 8.
Maka, didapati angka probabilitasnya adalah 0,4219
C.2. Distribusi Probabilitas Poisson
Nama Poisson diambil dari seorang ilmuwan yang bernama Simรฉon-Dennis Poisson yang telah menemukan rumus distribusi ini pada awal abad ke-19. Berbeda dengan distribusi probabilitas Binomial, distribusi probabilitas Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
1. Terdiri dari n ulangan
2. Setiap ulangan harus bebas satu sama lain
3. Berkaitan dengan probabilitas kejadian yang jarang terjadi, seperti jumlah angin topan yang terjadi dalam setahun, jumlah tsunami, dan lain sebagainya.
4. Parameter penentu hanya satu, yaitu nilai rata-rata (ฮผ / mean)
5. Jumlah n ≥ 30
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 8 dari 17
Rumus menghitung distribusi probabilitas Poisson adalah sebagai berikut:
P(ฮผ;x) = ๐๐ฅ. ๐๐ฅ!−๐
ฮผ = rata-rata populasi
x = nilai yang diharapkan
าฝ = nilai eksponensial = 2,71828
Contoh Soal 1
Menurut data RS Pasti Manjur pada 2012 diketahui bahwa rata-rata seseorang mengalami gangguan kejiwaan akibat putus cinta adalah 4, maka tentukan peluang dari 2.000 orang yang putus cinta apabila:
a. Tepat 3 orang mengalami gangguan kejiwaan
b. Lebih dari 2 mengalami gangguan kejiwaan
Penyelesaian
Karena pada kasus di atas diketahui bahwa parameter penentunya adalah rata-rata dan jumlah sampel besar, maka pendekatan yang digunakan adalah distribusi probabilitas Poisson. Dari kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus berikut:
a. Tepat 3 mengalami gangguan kejiwaan (x=3, ฮผ=4 )
P(4;3) = 43. ๐3!−4
P(4;3) = 0,195 atau 19,5%
Jadi, peluang 3 orang mengalami gangguan kejiwaan adalah 0,195 atau 19,5%
b. Lebih dari 2 orang mengalami gangguan kejiwaan (x>2)
Jadi, kita dapat menggunakan persamaan: 1-[P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]
Untuk x=0, maka:
P(4;0) = 40. ๐0!−4 = 0,0183
Untuk x=1, maka:
P(4;1) = 41. ๐1!−4 = 0,0733
Ingat, untuk mempermudah penghitungan, maka gunakan persamaan p+q=1 atau q=1-p
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 9 dari 17
Untuk x=2, maka:
P(4;2) = 42. ๐2!−4 = 0,1465
Dengan demikian, P(x≥2) = 1-[P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]
= 1-(0,0183+0,0733+0,1465)
= 1 – 0,2381
= 0,7619
Jadi, peluang lebih dari 2 orang mengalami gangguan kejiwaan adalah 0,7619 atau 76,2%.
C.2.1. Penggunaan Tabel untuk Menghitung Nilai Probabilitas Poison
Seperti distribusi probabilitas Binomial, nilai pada distribusi probabilitas Poison dapat dihitung dengan bantuan tabel yang dapat diperoleh di internet atau buku statistika.
Misal diketahui x=4 dan rata-rata 0,4, maka diketahui bahwa nilai probabilitasnya 0,0007.
C.2.2. Distribusi Probabilitas Poisson pada Binomial
Distribusi probabilitas Poisson dapat digunakan untuk mendekati distribusi probabilitas Binomial pada kondisi n besar (n≥20) dan P terlalu kecil (P<0,05) atau P terlalu besar (P>0,95). Pada distribusi probabilitas Poisson pada Binomial, ciri selanjutnya ditunjukkan dengan ฮผ yang tidak diketahui sehingga harus dicari ฮผ terlebih dahulu, dan memiliki ciri Binomial, yaitu “n” memiliki dua kategori.
Nilai rata-rata (ฮผ) didapat dari hasil n x p dimana n merupakan jumlah sampel dan p adalah peluang terjadinya suatu kejadian.
Untuk mempermudah pemahaman terhadap penggunaan distribusi probabilitas Poisson pada Binomial maka perhatikan contoh kasus berikut ini:
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 10 dari 17
Contoh Soal
Pada Pilkada Provinsi Jawa Barat diketahui bahwa dari 10.000 pemilih yang memberikan suaranya di beberapa TPS terdapat 40 pemilih yang fiktif. Jika diambil 500 pemilih secara acak, berapa peluang tidak dijumpainya pemilih fiktif?
Penyelesaian
Pendekatan yang digunakan adalah distribusi probabilitas Binomial karena pemilih tersebut dapat diklasifikasikan menjadi “fiktif” dan “resmi”. Karena yang diketahui hanya n=500 dan P=40/10.000 = 0,004 (P< 0,05) maka yang digunakan adalah distribusi Probabilitas Poisson. Karena ada dua karakteristik, yaitu Binomial dan Poisson, maka yang digunakan adalah distribusi Poisson pada Binomial. Selanjutnya, mengingat distribusi probabilitas Poisson mengandalkan rata-rata atau ฮผ, maka terlebih dahulu harus dicari angka ฮผ dengan cara menggunakan rumus ฮผ=n.p =500 x 0,004= 2.
Selanjutnya, gunakan rumus Poisson sebagai berikut:
P(ฮผ;x) = ๐๐ฅ. ๐๐ฅ!−๐
Dengan menggunakan rumus di atas, peluang tidak dijumpainya pemilih fiktif atau P(x=0) adalah:
P(2;0) = 20. ๐0!−2 = 0,1353
Jadi, peluang tidak dijumpainya pemilih fiktif yaitu 0,1353 atau 13,53%.
D. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU
Distribusi probabilitas kontinu terdiri dari beberapa macam distribusi yaitu:
1. Distribusi Normal
2. Distribusi Normal pada Binomial
3. Distribusi t-Student
4. Distribusi chi-Square (khi kuadrat)
5. Distribusi rasio ragam f, dan sebagainya
Mengingat bagian ini hanya bersifat pengenalan terhadap distribusi probabilitas, maka yang akan dibahas hanya distribusi normal.
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 11 dari 17
D.1. Distribusi Normal Distribusi normal merupakan salah satu distribusi peluang yang populer dan banyak digunakan dalam berbagai keperluan baik dalam ilmu sosial maupun. Apabila dalam distribusi dengan variabel diskret kita dihadapkan pada peluang kejadian atau peristiwa yang tidak bernilai pecahan, maka distribusi normal dapat menunjukkan hasil pengukuran di antara dua nilai atau dalam bentuk pecahan, misal peluang seorang karyawan yang dipilih secara acak memiliki berat badan antara 50 dan 60 kilogram. Adapun distribusi normal memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
1. Dicerminkan dengan kurva normal yang
berbentuk lonceng atau genta
2. Sisi kanan dan kiri dari distribusi bersifat
simetris dan ujung kurva tidak pernah
menyentuh sumbu X
3. Istilah lainnya yaitu Distribusi Gauss
4. n lebih besar dari 30
5. nilai median = modus = rata-rata
6. Kurva ini menurun di kedua arah, yakni ke kanan untuk nilai positif tak terhingga dan ke kiri tak terhingga
7. Tabel distribusi normal dapat digunakan untuk mempermudah penghitungan
8. Oleh karena termasuk dalam distribusi kontinu maka distribusi normal tidak mengenal perbedaan antara ≤ dan <, jadi 4<x<10 = 4≤x≤10. Misal P(x<40) maka dalam penghitungan 40 tetap disertakan.
Sebelum mempelajari lebih lanjut mengenai distribusi probabilitas normal, perlu dipahami mengenai kurva normal.
Gambar 1 Kurva Normal
Sumber: Healey (2005)
Pada gambar di atas, area pada kurva normal dibagi sama besar antara area kanan dan kiri. Area sebelah kanan ditunjukkan dengan angka positif karena besaran nilai standar deviasi
FYI: Meskipun secara empiris sulit ditemukan, namun kurva normal merupakan model ideal dan sering dijadikan standar penghitungan untuk tes skolastik, nilai akademik, dan sebagainya
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 12 dari 17
(s) di atas rata-rata (0), sedangkan area kiri ditunjukkan dengan angka negatif karena
besaran nilai standar deviasi (s) di bawah nilai rata-rata. Hal ini perlu dipahami supaya tidak
terjadi kekeliruan dalam menetapkan nilai Z. Nilai Z dihitung mulai dari tengah ke kanan dan
mulai dari tengah ke kiri (untuk Z negatif). Jadi, jangan sampai salah dalam menentukan
wilayah Z.
Distribusi normal disebut juga dengan distribusi Z sehingga rumus penghitungannya adalah
sebagai berikut:
x
Z atau
S
x x
Z
Keterangan:
x = kejadian yang diharapkan
ฮผ = rata-rata populasi / x = rata-rata sampel
๐ = standar deviasi populasi / S = standar deviasi sampel
Tips mencari Peluang Z / P(Z)
Apabila nilai Z sudah diketahui maka selanjutnya nilai peluang dapat dicari dengan
menggunakan tabel distribusi Z (umumnya terdapat pada lampiran buku Statistika atau
dapat diunduh di internet).
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
dst dst Dst dst Dst dst Dst dst dst dst dst
Misal diketahui Z= 0,14, maka nilai peluang dari P(Z=0,14) = 0,0557
Supaya lebih paham, perhatikan contoh kasus berikut ini.
Kasus 1
Dari seluruh mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika di UHUI diketahui bahwa nilai rataratanya
adalah 50 dan standar deviasinya 25. Berapa peluang mahasiswa mendapatkan
nilai:
a. antara 50 – 62
b. ≥ 55
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 13 dari 17
c. < 40
d. antara 45 – 60
e. antara 30 – 45
Penyelesaian
a. 0
25
50 50
50
Z → P(Z = 0) = 0
0,48
25
62 50
62
Z → P(Z = 0,48) = 0,1844
P(50≤X≤62) = P (X=62) – P(X=50)
= 0,1844 – 0 = 0,1844
Jadi, peluang mahasiswa mendapatkan nilai 50-62 adalah 0,1844 dan ditunjukkan oleh
daerah yang diarsir.
b. 0,20
25
55 50
55
Z → P(Z = 0,20) = 0,0793
P(X ≥ 55) = 0,5 – 0,0793 = 0,4207
Jadi, peluang mahasiswa mendapatkan nilai lebih dari 55 adalah 0,4207 dan ditunjukkan
oleh daerah yang diarsir.
c. 0,40
25
40 50
40
Z → P(Z = -0,40) = 0,1554
P (X < 40) = 0,5 – 0,1554 = 0,3446
x
0 0,0793 Z
50 55
Mengapa muncul 0,5? Hal ini karena peluang
untuk keseluruhan kurva adalah 1, sehingga
untuk wilayah setengah kurva maka
peluangnya adalah 0,5
Ingat, pada distribusi probabilitas
Normal, tidak ada perbedaan
antara “<” dan “≤”, dan tanda
negatif menunjukkan bahwa
wilayah Z berada di sebelah kiri
x
0,1554 0 Z
40 50
50 62 x
0 0,1844 Z
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 14 dari 17
Jadi, peluang mahasiswa mendapatkan nilai kurang dari 40 adalah 0,3446 dan ditunjukkan
oleh daerah yang diarsir.
d. 0,20
25
45 50
45
Z → P(Z = -0,20) = 0,0793
0,40
25
60 50
60
Z → P(Z = 0,40) = 0,1554
P(45≤X≤60) = P(X = 45) + P(X = 60)
= 0,0793 + 0,1554 = 0,2347
Jadi, peluang mahasiswa mendapatkan nilai 45-60 adalah 0,2347 dan ditunjukkan oleh
daerah yang diarsir.
e. 0,80
25
30 50
30
Z → P(Z =- 0,80) = 0,2881
0,20
25
45 50
45
Z → P(Z = -0,20) = 0,0793
P(30≤X≤45) = P(X = 30) – P(X = 45)
= 0,2881 – 0,0793 = 0,2088
Jadi, peluang mahasiswa mendapatkan
Nilai 30-45 adalah 0,2088 dan ditunjukkan
oleh daerah yang diarsir.
D.2. Distribusi Probabilitas Normal pada Binomial
Distribusi probabilitas Normal juga dapat digunakan untuk mendekati distribusi probabilitas
Binomial dengan catatan sebagai berikut:
1. Memiliki ciri-ciri Binomial (p mendekati 0,5) tetapi memiliki n besar
2. Menggunakan koreksi kontinuitas (0,5)
3. n p
4. n pq
x
0,0793 0 Z
45 50 60
0,1554
x
0,0793 0 Z
30 45 50
0,2881
Mengapa nilai 0,2881 harus dikurangi 0,0793? Hal ini
karena nilai peluang Z dihitung dari tengah, atau
angka “0”. Nilai P (Z=-0,80) dihitung dari angka “0”
dan nilai P(Z =-0,20) juga dihitung dari angka “0”. Hal
ini berarti wilayah “0” hingga P(Z=-20) tidak dihitung
sehingga nilai P(Z=-80) harus dikurangi nilai P(Z=-30)
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 15 dari 17
Sebagai contoh, perhatikan latihan berikut ini.
Kasus 2
Dari sebuah evaluasi kelulusan tahun 2012 di Universitas Sui Tenan, diketahui bahwa
peluang mahasiswa lulus tepat waktu adalah 0,6. Jika dalam satu angkatan terdapat 100
mahasiswa, maka berapakah peluang mahasiswa :
a. Lebih dari setengahnya lulus
b. 70 orang mahasiswa lulus
c. kurang dari 45 lulus
Penyelesaian
Dari informasi di atas diketahui bahwa:
p = 0,60
q = 1 – p = 1 – 0,60 = 0,40
ฮผ = n . p = 100 . 0,60 = 60
ฯ = n pq 1000,600,40 4,90
a. P ( X> 50) =
. 1,94
4,90
50,5 60
50,5
Z
P(Z = - 1,94) = 0,4738
P(X > 50) = P(Z =-1,94) +0,5
= 0,4738 + 0,5 = 0,9738
Jadi, peluang mahasiswa lulus tepat waktu melebihi setengah dari jumlah angkatan yaitu
0,9738
Karakter Binomial apa yang
terpenuhi?
1. Memiliki dua kategori “lulus tepat
waktu” dan “lulus tidak tepat waktu.
2. Peluang besar, yaitu >0,5
Mengapa nilai Z menjadi bertambah
0,5?
Hal ini karena ada koreksi kontinuitas.
Lihat kembali kolom penjelasan
mengenai Koreksi Kontinuitas
Apa itu koreksi kontinuitas?
Koreksi nilai batas dengan menambahkan atau mengurangi 0,5. Hal ini dilakukan supaya
pendekatan probabilitas suatu distribusi yang diskret (Binomial) dengan probabilitas
probabilitas yang kontinu (Normal) menjadi lebih baik daripada perhitungan tanpa
koreksi.
Lalu, bagaimana aturan koreksi kontinuitas?
1. P(X>a) maka a + 0,5
2. P(X≥a) maka a - 0,5
3. P(X<a) maka a - 0,5
4. P(X≤a) maka a + 0,5
5. P(X=a) maka P(a-0,5) < X < P(a+0,5)
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 16 dari 17
b. P(X = 70) =
1,94
4,90
69,5 60
69,5
Z
P(Z = 1,94) = 0,4738
2,14
4,90
70,5 60
70,5
Z
P(Z = 2,14) = 0,4838
P(X = 70) = P (Z = 70,5) – P(Z = 69,5)
= 0,4838 – 0,4738 = 0,0100
Jadi, peluang 70 mahasiswa lulus tepat waktu adalah 0,0100
E. SOAL LATIHAN
Untuk membantu pemahaman mengenai distribusi probabilitas, kerjakanlah latihan berikut
ini:
1. Jajak pendapat harian Lampu Oranye mencatat bahwa 75% pelajar di Kota Jakarata lebih
hafal lagu SNSD dibandingkan lagu Rayuan Pulau Kelapa. Tertarik dengan fenomena ini
maka sebuah lembaga penelitian kebudayaan yang bernama Indonesiaku mengambil
sampel 25 pelajar secara acak. Tentukan peluang:
a. 10 pelajar tidak hapal lagu SNSD
b. paling sedikit 20 pelajar hapal lagu Rayuan Pulau Kelapa
c. tidak lebih dari 2 mahasiswa hapal lagu SNSD
2. Berita mengejutkan datang dari sebuah lembaga kajian kesehatan. Penelitian mengenai
dampak polusi terhadap IQ anak yang rendah di sebuah kelurahan yang dekat dengan
Kawasan Industri Lembur Terus menunjukkan bahwa rata-rata IQ anak hanya 75 dengan
standar deviasi 20. Berapa peluang seorang anak mendapatkan IQ:
a. antara 75-120
b. ≥ 120
c. < 50
d. antara 50-120
e. antara 80-90
3. Dalam inspeksi Kementerian Perhubungan di terminal Pulo Rambutan diketahui bahwa
dari 1.600 bus yang beroperasi hanya 1.550 bus yang layak jalan. Jika diambil 100 bus
secara acak, berapa peluang tidak dijumpai bus yang rusak dan 5 bus rusak?
Modul Distribusi Probabilitas, Pengantar Statistika Sosial Halaman 17 dari 17
4. Dari sebuah survei terhadap para istri di kelurahan Suka Makmur diketahui bahwa 40% setuju jika suami mereka berpoligami. Jika diambil 15 sampel secara acak, tentukan:
a. Peluang 10 istri tidak setuju jika suaminya berpoligami
b. Paling banyak 13 istri setuju jika suaminya berpoligami
c. Tidak ada istri yang setuju jika suaminya berpoligami
5. Di suatu kota, diketahui bahwa peluang suatu rumah menjadi korban perampokan adalah 0,0055. Jika di kota tersebut terdapat 1650 rumah, tentukan peluang:
a. 10 rumah menjadi korban perampokan
b. paling sedikit 3 rumah menjadi korban perampokan
F. REFERENSI
Cramer, Duncan, and Dennis Howitt. 2004 The SAGE Dictionary of Statistics: A Practical Resources for Students in the Social Sciencess. London: SAGE Publications
Healey, Joseph F. 2005. Statistics: A Tool for Social Research 8th Ed. Belmont, California: Wadsworth Cengage Learning
Jannah, Lina Miftahul dan R. Sulastiawan. 2010. Statistik Sosial. Jakarta: Penerbit Universitas Terbuka
Saefuddin, Asep, dkk. 2009. Statistika Dasar. Jakarta: Penerbit PT Grasindo
Siagian, Dergibson, dan Sugiarto. 2006. Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama
Van Zanten, Wim. 1994. Statistika untuk Ilmu-Ilmu Sosial (Edisi Kedua). Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama
Tidak ada komentar:
Posting Komentar